黎曼積分
黎曼可積
一個有界函數是黎曼可積的,當高估的階梯與低估的階梯能被擠到一起、對同一個數達成一致。直觀地說,函數足夠溫順,使它下方的面積毫不含糊:無論你逼近得多慷慨或多吝嗇,充分加細都會把兩個估計塌縮到同一個值。
確切地說,[a, b] 上的有界函數 f 是黎曼可積的,如果它的下積分等於上積分。這個共同值便記作 f 從 a 到 b 的積分。等價地,由達布–黎曼等價性,當網格趨於零時帶標記的黎曼和收斂到這個數,與標記如何選取無關。
許多熟悉的類都是可積的:[a, b] 上的每個連續函數、每個單調函數,以及任何只有有限個間斷點的有界函數。但並非所有有界函數都合格——狄利克雷函數(有理點取 1,無理點取 0)的下積分為 0、上積分為 1,因此不黎曼可積。確切的分界由勒貝格判據給出:可積當且僅當其間斷點構成一個零測集。
托梅函數(在最簡分數 p/q 處取 1/q,在無理點取 0)在 [0, 1] 上黎曼可積、積分為 0,儘管它在每個有理點都間斷——它的間斷點集可數,故為零測集。
無窮多個間斷點也無妨,只要它們的測度為零。
對有界區間上的有界函數,黎曼可積嚴格弱於勒貝格可積:每個黎曼可積函數都勒貝格可積且值相同,但反之不成立(狄利克雷函數勒貝格可積,積分為 0)。
又稱
另見