上積分

每個上達布和都是面積的高估,而更細的分割給出更小的高估。上積分是所有高估中最好的:當你無限加細時上和所能趨近的最小值。它是所有上和都遵從的最緊的天花板。

對 [a, b] 上有界的 f,上積分是對所有分割 P 取上達布和的下確界:f 的上積分 = inf_P U(f, P)。這個下確界存在且有限,因為上和之集有下界(每個下和都是它的下界),於是實數的完備性提供了這個值。

對有界函數,上積分總是存在,即便普通積分不存在。它可以嚴格高於下積分;當且僅當 f 黎曼可積時兩者相等,此時它們的公共值就是積分。所以上積分是一個單側的逼近量,只有當它與其下方對應物相遇時才成為真正的積分。