黎曼積分
上達布和
上達布和是你能在一個分割上搭起的最慷慨的階梯:在每條豎條上,你把矩形造得和函數在那裡所達到的最高值一樣高,於是階梯始終壓在圖像上方。它有意高估面積,給出一個你可以信賴、絕不會低於真值的天花板。
設 f 在 [a, b] 上有界,P = {x_0, ..., x_n} 是一個分割。在第 k 個子區間上令 M_k = sup{ f(x) : x_(k-1) <= x <= x_k }。上達布和為 U(f, P) = sum_{k=1}^{n} M_k (x_k - x_(k-1))。由於 f 有界,每個 M_k 都是有限實數,所以 U(f, P) 是良定義的。
與黎曼和不同,上和不涉及標記的選取:每個子區間上的上確界是被強制確定的。因此對任何使用相同 P 的帶標記分割,其黎曼和都不超過 U(f, P),而 U(f, P) 本身正是這些黎曼和的上確界。加細一個分割只會使上和下降,這正是上積分被定義為對所有分割取下確界的原因。
對 [0, 1] 上的 f(x) = x,取分成 n 份的均勻分割,M_k = k/n(上確界在右端點),故 U(f, P) = sum (k/n)(1/n) = (n+1)/(2n),它遞減到 1/2。
對遞增函數,每塊上的上確界即右端點,故上和從上方趨近積分。
有界性是不可或缺的:如果 f 在某個子區間上無界,那麼 M_k = +infinity,達布機制就失效了,這正是黎曼積分與達布積分只對有界區間上的有界函數定義的原因。
又稱
另見