黎曼積分
下達布和
下達布和是一個分割上最吝嗇的階梯:在每條豎條上,你只把矩形造得和函數在那裡的最小值一樣高,於是階梯完全藏在圖像下方。它有意低估面積,給出一個你可以信賴、絕不會高於真值的地板。
設 f 在 [a, b] 上有界,P = {x_0, ..., x_n} 是一個分割。在第 k 個子區間上令 m_k = inf{ f(x) : x_(k-1) <= x <= x_k }。下達布和為 L(f, P) = sum_{k=1}^{n} m_k (x_k - x_(k-1))。與上和一樣,有界性保證每個 m_k 都是有限實數。
對同一分割,m_k <= M_k 迫使 L(f, P) <= U(f, P):地板絕不超過天花板。此外,對任意分割 P 與 Q,每個下和都不超過每個上和,L(f, P) <= U(f, Q),因為過渡到公共加細只會抬高下和、壓低上和。所有下和的上確界即下積分,它從下方擠向上積分。
對 [0, 1] 上的 f(x) = x,取分成 n 份的均勻分割,m_k = (k-1)/n(下確界在左端點),故 L(f, P) = sum ((k-1)/n)(1/n) = (n-1)/(2n),它遞增到 1/2——與上和到達的極限相同。
隨著 n 增大,下和與上和把縫隙從 (n-1)/(2n) 收到 (n+1)/(2n),把積分釘在 1/2。
又稱
另見