黎曼積分
加細
加細一個分割意味著進一步切割——保留所有舊的分點並插入新的。每條豎條要麼不變,要麼被劈成更細的幾塊。直觀地說,更細的階梯更貼近曲線,所以加細是驅使兩個達布和彼此靠攏的引擎。
形式地說,分割 Q 是分割 P 的一個加細,如果 P 是 Q 的子集,即 P 的每個點也是 Q 的點。給定任意兩個分割 P_1 與 P_2,它們的並 P_1 union P_2 是兩者的一個公共加細,這是比較由互不相干分割構造的和的標準手段。
關鍵的單調性事實是:加細絕不會使夾逼變差:過渡到一個加細只會抬高(或保持)下和、只會壓低(或保持)上和,所以只要 Q 加細 P 就有 L(f, P) <= L(f, Q) <= U(f, Q) <= U(f, P)。這種夾逼正是上、下積分良定義的原因,也正是每個下和都被每個上和所支配的原因——過渡到公共加細並把不等式串起來即可。
在 [0, 1] 上取 P = {0, 1} 與 Q = {0, 1/2, 1},f(x) = x。則 L(f, P) = 0,L(f, Q) = (0)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/4,下和上升了;U(f, P) = 1 降到 U(f, Q) = (1/2)(1/2) + (1)(1/2) = 3/4。
添加一個中點把下和拉高、上和壓低,把夾逼區間從 [0, 1] 收窄到 [1/4, 3/4]。
加細關乎添加點,而非網格:加細後的網格總不大於原來的,但兩個分割可以在網格上互相更細,而誰也不作為點集加細另一個。達布理論建立在點集的序之上,而非網格的序。
又稱
另見