分割

想像用許多細長的豎條來測量曲線下方的面積。在搭起任何近似矩形之前,你必須先決定要在哪裡切開。分割正是這一串切點:它把區間切成有限多塊,讓後續的積分機器有東西可以處理。

嚴格地說,閉區間 [a, b] 的一個分割 P 是一個有限點集 P = {x_0, x_1, ..., x_n},滿足 a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b。這些點把 [a, b] 分成 n 個子區間 [x_(k-1), x_k]。第 k 個子區間的寬度為 delta_k = x_k - x_(k-1),而所有寬度之和等於整段長度,delta_1 + ... + delta_n = b - a。

分割本身只記錄了切口的幾何位置;它對所積分的函數隻字未提。要把分割變成一個數,你還需要一條選取高度的規則——或者在每塊上取一個樣本點(得到黎曼和),或者在每塊上取上確界/下確界(得到達布和)。這些點不必等距;不均勻的分割不僅被允許,而且在許多證明中是不可或缺的。