黎曼積分
帶標記分割
普通分割告訴你在哪裡切開區間,卻把每個近似矩形的高度懸而未決。帶標記分割補上了這個空缺:在每個子區間裡你選一個樣本點——一個標記——而函數在該點的值將成為矩形的高度。可以想像往每條豎條內部某處插一根針,然後讀出針處曲線的高度。
嚴格地說,[a, b] 的一個帶標記分割是一對 (P, T),其中 P = {x_0, ..., x_n} 是一個分割,T = (t_1, ..., t_n) 是一組標記的選取,滿足 t_k 落在第 k 個子區間內,即 x_(k-1) <= t_k <= x_k。標記可以是其閉子區間內的任意一點,包括端點,而不同子區間的標記是獨立選取的。
帶標記分割恰好是黎曼和所需的全部資料:sum f(t_k)(x_k - x_(k-1))。由於標記是自由的,同一個底層分割可以產生許多不同的黎曼和;可積性正是斷言:當網格趨於零時,所有這些選取被迫擠到一起。達布方法用上確界與下確界取代標記,從而繞開了標記的選取,而這兩種方法最終是等價的。
在把 [0, 1] 等分成 n 份的分割上,取右端點 t_k = k/n 作為每個標記,得到右端點黎曼和;取中點 t_k = (2k-1)/(2n) 則得到中點法則。
同一分割,不同標記,不同的和——然而對可積函數它們都收斂到同一個數。
帶標記分割是規函數(亨斯托克–庫茲韋爾)積分的自然背景,在那裡允許的網格可以依賴於標記。在普通黎曼理論中,標記只是在固定寬度子區間內的自由選取。
又稱
另見