黎曼積分
黎曼和
黎曼和是圖像下方面積的階梯近似:在每條豎條上疊一個矩形,其高度等於函數在該條內某個樣本點處的值,再把各矩形的面積相加。如果豎條足夠細,鋸齒狀的階梯就緊貼真實區域,其總面積趨近於積分。
給定 [a, b] 的一個帶標記分割 (P, T),其中 P = {x_0, ..., x_n},標記 t_k 屬於 [x_(k-1), x_k],則 f 對應的黎曼和為 S(f, P, T) = sum_{k=1}^{n} f(t_k)(x_k - x_(k-1))。每一項 f(t_k) 乘以寬度是某個矩形的有向面積,之所以有向,是因為 f(t_k) 可能為負。
我們說黎曼和收斂到數 I,如果對每個 epsilon > 0 存在 delta > 0,使得每個網格 < delta 的帶標記分割都滿足 |S(f, P, T) - I| < epsilon,無論標記如何選取。當這樣的 I 存在時,它就是 f 的黎曼積分。這是在一個有向族上取的真正極限,而非序列極限,因為標記是被全稱量化的。
對 [0, 1] 上的 f(x) = x^2,取均勻分割與右端點,該和為 sum_{k=1}^{n} (k/n)^2 (1/n) = (n+1)(2n+1)/(6n^2),當 n -> infinity 時趨於 1/3,與 x^2 從 0 到 1 的積分一致。
一個有閉形式的黎曼和,其極限重現了熟悉的積分值 1/3。
左端點、右端點和中點法則都是特定標記選取下的黎曼和;它們是基本數值積分的種子。某一特定序列的和收斂本身並不能證明可積性——必須同時控制每一種標記選取。
另見