網格

分割的網格是衡量它有多粗的一個數:它最寬一條豎條的寬度。網格小意味著每塊都細,於是近似階梯在任何地方都不會偏離曲線太遠。讓網格趨於零,就是經由帶標記的和來定義黎曼積分的極限過程。

形式地說,對分割 P = {x_0, ..., x_n},網格(也稱分割的模)為 mesh(P) = max{ x_k - x_(k-1) : 1 <= k <= n },即最大子區間的長度。於是黎曼積分是當 mesh(P) -> 0 時黎曼和的極限:對每個 epsilon > 0 存在 delta > 0,使每個網格 < delta 的帶標記分割,其和都在積分的 epsilon 範圍內。

網格與加細刻畫了關於細的不同概念。加細的網格總不大於原來的,但網格小並不蘊含加細:兩個分割可以各自有極小的網格,卻不共享任何內部點。基於網格的定義(黎曼的)與基於加細的定義(達布的)對有界函數等價,但網格表述才是與數值求積相聯繫者,在那裡網格控制誤差界。