黎曼積分
黎曼判據
直接從定義檢驗可積性意味著要在所有分割上算兩個上確界/下確界,這很笨拙。黎曼判據把它換成一個單一、可檢驗的測試:一個函數可積,恰當你能找到某一個分割,使其上、下階梯任意接近。你只需展示一個好的分割,而不必在所有分割上做最佳化。
確切地說,[a, b] 上的有界函數 f 黎曼可積,當且僅當對每個 epsilon > 0 存在一個分割 P 使 U(f, P) - L(f, P) < epsilon。差 U(f, P) - L(f, P) 等於 sum (M_k - m_k)(x_k - x_(k-1)),即兩個階梯之間縫隙的總面積;使它變小意味著高估與低估彼此夾緊。
這是序列柯西判據在積分中的類比:它在不指明極限的情況下證明極限存在。一個方向由加細下和的單調性輕易得出;另一方向利用縫隙控制了上、下積分之差。它是用來證明連續函數與單調函數可積的主力工具,辦法是選取足夠細的分割,迫使每個 M_k - m_k 都很小。
若 f 在 [a, b] 上連續,則它一致連續,故給定 epsilon 存在 delta,使 |x - y| < delta 時 |f(x) - f(y)| < epsilon/(b-a);任何網格 < delta 的分割便有每個 M_k - m_k < epsilon/(b-a),從而 U - L < epsilon。因此每個連續函數都可積。
一致連續加上黎曼判據,是連續函數可積最乾淨的證明。
又稱
另見