函數的極限與連續性
一致連續
普通連續性允許所需的輸入接近程度依賴於你所處的位置:在圖像陡峭處,你必須放大得更多。一致連續是更強的承諾:存在一個統一的輸入容差,處處同時奏效——無論你站在定義域的哪個位置,同一個 δ 都能勝任。
確切地說,f 在集合 D 上一致連續,是指對每個 ε > 0,都存在 δ > 0,使得對 D 中一切點 x、y,只要 |x - y| < δ,就有 |f(x) - f(y)| < ε。它與普通連續性的關鍵差別在量詞次序:這裡 δ 是在選定點 x、y 之前、且與之無關地選出的,因此無法遷就某個棘手的位置。
一致連續蘊含連續,反之不然。經典的反例:f(x) = x^2 在整個 R 上連續,卻並非一致連續,因為在 x 很大處,哪怕極小的輸入間隔也會造成很大的輸出間隔。補救性的定理(海涅–康托爾)是:閉有界區間上——更一般地任何緊集上——的連續函數自動一致連續,因此這一區別只在無界或非閉的定義域上才顯現。
在 R 上,f(x) = x^2:取 x = n,y = n + 1/n。則 |x - y| = 1/n -> 0,而 |f(x) - f(y)| = 2 + 1/n^2 > 2 恆成立。沒有任何單一的 δ 能把輸出控制在 ε = 1 之內,故 f 不一致連續。
在無界定義域上連續卻不一致連續。
另見