緊空間

緊性是拓撲學中「有限」的替代品。有限集極其溫順——其上任何函數都取得最大值，任何覆蓋都能削減到幾個集合——而緊性為無窮空間製造出同樣的便利。閉區間 [0, 1] 儘管有不可數多個點，卻在許多方面表現得像有限集，而開區間 (0, 1) 則不然。

其定義用到覆蓋。空間 X 是緊的，如果 X 的每個開覆蓋都有有限子覆蓋：只要一族開集合起來覆蓋 X，其中便已有有限多個覆蓋 X。這個「總能只用有限多個對付過去」的條件出人意料地強，是緊性現代的、純拓撲的定義。

緊性有驚人的推論。緊空間上的連續實值函數取得其最大值與最小值（極值定理）；緊空間的連續像是緊的；豪斯多夫空間的緊子集是閉集；從緊空間到豪斯多夫空間的連續雙射自動是同胚。誠實起見須加一句告誡：在一般拓撲空間中，緊性與序列緊性是不同的概念，僅在諸如可度量化等額外假設下才一致。