極值定理

在一段有限的、封閉的路程上,連續起伏的地貌有一個真正的最高點和一個真正的最低點——不僅是它逼近的高度,而是它真正到達的高度。極值定理保證:閉有界區間上的連續函數必定取到真正的最大值與最小值。

確切地說:若 f 在閉且有界的區間 [a, b] 上連續,則存在 c、d 屬於 [a, b],使得對所有 x 屬於 [a, b] 都有 f(c) <= f(x) <= f(d)。函數首先是有界的(有界性定理),進而其值的上確界與下確界不只是被逼近,而是真正被取到。

每一個前提都不可或缺。去掉閉性:f(x) = x 在開區間 (0, 1) 上既無最大值也無最小值。去掉區間的有界性:f(x) = x 在 [0, 無窮) 上沒有最大值。去掉連續性:在 [0, 1] 上帶跳躍的函數可能取不到它的上確界。拓撲中的簡潔陳述是:連續實函數在任何緊集上都取到極值。