有界性定理

若你沿一條連續的路徑走過一片有限的、圍起來的田地,你不可能爬到無限高——地形始終落在某個最高與最低海拔之間。有界性定理把這件事精確化:閉有界區間上的連續函數絕不會奔向無窮;它的值被困在兩堵有限的牆之間。

確切地說:若 f 在閉且有界的區間 [a, b] 上連續,則 f 有界——存在一個數 M,使得對所有 x 屬於 [a, b] 都有 |f(x)| <= M。這是通往極值定理之路的前半程,極值定理把「有界」加強為「取到其界」。

兩個前提缺一不可。在半開區間 (0, 1] 上,連續函數 f(x) = 1/x 無界;閉性在 0 處失效。在無界區間 [0, 無窮) 上,f(x) = x 無界;區間沒有右牆。它成立的深層原因是緊性:緊集的連續像仍是緊集,因而有界——區間閉且有界,恰恰使它在實直線上成為緊集。