連續函數

連續函數是指在它所棲身之處處處連續的函數——在其定義域的每一個點上都連續。逐點連續是一種局部的承諾(這一個點表現良好),而成為連續函數則是一種整體陳述:該承諾在整個定義域上都成立。

形式上,當 f: D -> R 在 D 中每個點 a 處都連續時,它就是連續函數。用拓撲語言等價地說:每個開集的原像都是(相對於定義域的)開集。正是這種開集表述,使連續性的概念遠遠超出實直線,推廣到沒有任何 ε、δ 可言的度量空間與拓撲空間。

連續函數對日常運算是封閉的:連續函數的和、差、積、商(分母非零處)與複合仍是連續函數。一個常見陷阱是把「連續」一詞套在限制了定義域的函數上——例如 1/x 在它的定義域(所有不等於 0 的 x)上是不折不扣的連續函數,儘管它在 0 附近「爆炸」,原因僅僅是 0 根本不屬於其定義域。