介值定理

若你從低處連續地爬到高處,就必定經過其間的每一個高度——你無法越過某個海拔瞬移過去。介值定理把這件事精確化:區間上的連續函數,在它所取到的任意兩個值之間不會跳過任何值。

確切地說:若 f 在閉區間 [a, b] 上連續,而 y 是嚴格介於 f(a) 與 f(b) 之間的任意數,則存在 c 屬於 (a, b),使得 f(c) = y。這一結論牢牢依賴於連續性與實數的完備性——在有理數上它失效,因為數線上有縫隙可供穿過。

兩點提醒。定理保證 c 的存在性,而非唯一性——這樣的 c 可能有許多。而且它是一條單行道:一個函數可能取遍所有中間值卻仍不連續(這種「達布性質」確實比連續性更弱)。一個著名應用:任何奇次實係數多項式都有實根,因為它從負無窮跑到正無窮,必定穿過零。