達布定理

你也許期望一個本身就是導函數的函數會相當溫順。出人意料的是，導函數可以不連續——但它絕不會跳躍。達布定理揭示出：導函數無論多麼狂野，始終遵守介值性質：即便不連續，它也不能跳過中間的值。

陳述：若 f 在區間 [a, b] 上可微，則導函數 f' 取到 f'(a) 與 f'(b) 之間的每一個值。即對嚴格介於 f'(a) 與 f'(b) 之間的任何 y，存在 c 屬於 (a, b)，使 f'(c) = y。值得注意的是，這一結論無需假設 f' 連續——介值定理通常要求連續，而導函數無償地獲得了這一性質。

其推論是一個尖銳的結構限制：導函數不可能有跳躍間斷。所以像階梯函數（它會跳躍）這樣的函數不是任何函數的導函數。這解釋了為何導函數僅可能出現更狂野的振盪型間斷（本性間斷），如 x^2 sin(1/x) 的導函數。證明考慮 g(x) = f(x) - yx，它有內部極值，再對其應用費馬定理推出 g'(c) = 0。