可微

稱一個函數在某點可微，等於承諾：若你在該處把圖像放得足夠大，曲線會與一條直線無法區分。光滑、沒有尖角、沒有豎直陡壁、沒有突然的斷裂——在足夠的放大下，它會展平成一條有確定斜率的直線。

形式上，f 在 a 處可微，是指極限 f'(a) = lim_{h -> 0} (f(a + h) - f(a)) / h 作為有限實數存在。一個等價且非常有用的改述是線性逼近形式：存在數 m 與誤差項 o(h)，使得 f(a + h) = f(a) + m h + o(h)，其中 o(h)/h -> 0；此時 m = f'(a)。在一個集合的每一點都可微的函數，稱為在該集合上可微。

可微嚴格強於連續。每個在 a 處可微的函數在 a 處連續，但反過來則嚴重不成立：f(x) = |x| 處處連續卻在 0 處不可微，而魏爾斯特拉斯構造了一個在整個 R 上連續卻處處不可微的函數。所以「看起來光滑」必須由極限來證實，而不能從手繪圖像中臆斷。