光滑函數

你遇到的大多數函數都只能求導有限次，然後就會出問題。光滑函數則是永不出問題的理想：你可以一次又一次、永遠地對它求導，而且每一階仍然是一個連續函數，可供再求導一次。

定義：f 在一個開集上光滑，記作 f 是 C-無窮，是指它在那裡具有每一階 n 的導數，對所有 n = 1, 2, 3, ... 成立。每一個這樣的導數隨之自動連續（因為在下一階可微迫使本階連續）。多項式、e^x、sin、cos 以及有理函數在其定義域上都是光滑的。

光滑位居一條嚴格鏈 C^0 ⊇ C^1 ⊇ C^2 ⊇ ... 的頂端，C-無窮 是它們全體的交。最重要的誠實告誡是：光滑嚴格弱於實解析。一個函數可以是 C-無窮 卻在任何鄰域內都不等於其泰勒級數之和——經典見證是 f(x) = e^(-1/x^2)（x 不為 0），f(0) = 0，它光滑且在 0 處每一階導數都為零，故它在 0 處的泰勒級數恆為零，而 f 本身在遠離 0 處為正。