高階導數

如果一階導數是你的速度，那麼二階導數就是你的加速度——速度本身變化的快慢。微分可以反覆施行：求導數的導數，再求其導數，如此下去，每一遍都揭示出一個量如何彎曲與扭轉的更細一層。

定義：二階導數為 f''(x) = (f')'(x)，即 f' 在其存在處的導數；歸納地，n 階導數 f^(n) 是 f^(n-1) 的導數。要使 f^(n)(a) 有定義，f^(n-1) 必須在 a 的某鄰域內（而不僅在 a 處）存在，並在 a 處可微。記號有 f''(a)、f^(n)(a)，以及萊布尼茲形式 d^2f/dx^2 與 d^n f/dx^n。

高階導數刻畫了斜率之外的幾何：f'' 的符號決定凹凸性（f'' > 0 處下凸、f'' < 0 處上凸），並是極值的二階導數判別法的基礎。一個微妙之處：每一階都比上一階要求更高的正則性，某一層的存在並不保證下一層的良好性——f^(n) 可能存在而 f^(n+1) 不存在，或者 f^(n) 自身不連續。