泰勒定理

切線是曲線的一條直線替身，只在接觸點附近才精確。泰勒定理對此加以升級：不用直線，而用一個多項式，它不僅匹配函數值與斜率，還匹配曲率以及更高的彎曲。你匹配的導數越多，多項式跟隨真實函數的距離就越長——而關鍵在於，該定理精確告訴你剩餘的誤差能有多大。

陳述：若 f 在 a 處 n 次可微（且較低階導數在 a 附近有適當的連續性），則 f(x) = P_n(x) + R_n(x)，其中 P_n(x) = sum_{k=0}^{n} (f^(k)(a)/k!) (x - a)^k 是 a 處的 n 次泰勒多項式，R_n(x) 是餘項。該多項式是在 a 處與 f 的函數值及前 n 階導數都相符的唯一 n 次多項式；當 x -> a 時餘項 R_n(x) 比 (x - a)^n 更快地趨於 0。

該定理並非斷言 f 等於其泰勒多項式——一般而言並不相等，全部內容都在於控制 R_n。餘項有明確的形式（拉格朗日、柯西、積分形式），拉格朗日形式為 R_n(x) = (f^(n+1)(xi)/(n+1)!)(x - a)^(n+1)，其中 xi 介於 a 與 x 之間。誠實地使用泰勒定理總要帶上這個誤差項；丟掉它就把一個定理變成了一廂情願。