光滑但非解析

人們很容易相信:只要函數無限可微,它的泰勒級數就一定能把它重建出來。這一信念是錯誤的,而其反例是分析學中最具教益的例子之一。一個函數可以完美光滑——具備每一階導數——可它的泰勒級數卻收斂到錯誤的對象,完全錯過了這個函數。

標準的例子是 f(x) = e^{-1/x^2}(當 x 不為 0),並令 f(0) = 0。這個函數處處無限可微,而它在 0 處的每一階導數恰好都等於 0:f(0) = 0、f'(0) = 0、f''(0) = 0,各階皆然。因此它在 0 處的泰勒級數是 0 + 0x + 0x^2 + ...,即零級數,其和為常數 0——然而對每個不為 0 的 x,f(x) 都為正。

教訓在於:光滑性(屬於 C-無窮)嚴格弱於實解析性。光滑函數的泰勒級數總是存在,但等式 f(x) =(其泰勒級數)是一個真正額外的條件,由泰勒餘項是否趨於零所掌控。這類函數遠非僅供玩味:它們不可或缺,可用來構造凸起函數與單位分解,這些光滑的工具是(具有剛性的)解析函數無法提供的。