實解析函數

有些函數良好到這樣的程度:在任意一點附近,它們就是自身的冪級數——不只是被它逼近,而是在一個小區間上與之嚴格相等。這些就是實解析函數,實軸上光滑性的黃金標準。多項式、指數函數、正弦、餘弦及其組合都屬於這一菁英行列。

確切地說,定義在開集上的函數 f 是實解析的,如果對集合中每一點 a 都存在半徑 r > 0 與係數 c_n,使得對所有滿足 |x - a| < r 的 x 有 f(x) = sum_{n=0}^無窮 c_n (x - a)^n。這些係數必然就是泰勒係數 f^{(n)}(a)/n!,所以解析意味著每一點處的泰勒級數確實收斂回到該函數。

實解析性嚴格強於光滑性(無限可微)。每個解析函數都是光滑的,但反之不然:存在某些光滑函數在某點不解析,因為其泰勒級數雖有定義卻不能表示它們。解析函數還具有剛性——在一個微小區間上瞭解它,就能確定它在所有可延拓之處的值,這一現象在解析延拓中得到探討。