泰勒級數

假設你瞭解某函數在單獨一點 a 處的一切——它的值、斜率、曲率、曲率的變化率,直至所有階導數。泰勒級數就是僅憑這些局部數據重建整個函數的嘗試:構造一個冪級數,其係數恰好就是這些導數。

給定在 a 處無限可微的函數 f,其以 a 為中心的泰勒級數為 sum_{n=0}^無窮 f^{(n)}(a)/n! (x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! (x-a)^2 + ...。第 n 個係數是 a 處的 n 階導數除以 n 的階乘。每個部分和都是一個泰勒多項式,即該次數下在 a 附近的最佳多項式逼近。

當心一個微妙的陷阱:對光滑函數而言寫出泰勒級數總是可行的,但該級數未必收斂到 f,即便它確實收斂也可能如此。f 是否等於其泰勒級數由泰勒餘項是否趨於零所支配,而確實存在某些光滑函數,其在某點的泰勒級數收斂到錯誤的答案。在每一點附近都等於自身泰勒級數的函數,稱為實解析函數。