麥克勞林級數

麥克勞林級數不過是決定在原點紮營的泰勒級數。這裡沒有新概念——它是中心取在點 a = 0 這一特殊且最常見的情形。你背誦的大多數著名展開式(e^x、sin x、cos x)都是麥克勞林級數。

形式上,光滑函數 f 的麥克勞林級數是 sum_{n=0}^無窮 f^{(n)}(0)/n! x^n = f(0) + f'(0) x + f''(0)/2! x^2 + ...。以零為中心簡化了每一項:不再是 (x - a) 的冪,而是 x 的純冪,係數則是在方便的點 0 處求值的導數。

這一名稱紀念科林·麥克勞林,儘管其構造完全是泰勒在 a = 0 時的做法。所有相同的警告依然適用:寫出麥克勞林級數並不保證它收斂到 f。標準的指數與三角級數對所有實數 x 都收斂到對應函數,這恰恰是它們如此有用的原因,但這是需要證明而非預設的事實。