係數公式

如果某函數恰好是一個冪級數之和,你能否伸手進去逐個讀出它的係數?可以——而且有一個簡潔的公式。訣竅在於:每個係數恰好與中心處的某一階導數掛鉤,因此求導適當的次數再代入,就能提取出你想要的係數。

表述:若在 a 附近某區間上 f(x) = sum_{n=0}^無窮 c_n (x - a)^n,則逐項求導 n 次後令 x = a,除第 n 項外的每一項都被消去,得到 f^{(n)}(a) = n! c_n。解出係數即 c_n = f^{(n)}(a)/n!。這正是為什麼 f 的冪級數必然是它的泰勒級數:係數是被迫的,而非自由的。

該公式之所以成立,是因為在收斂半徑內逐項求導是合法的,而在 x = a 處 (x - a) 的所有正次冪都化為零,從而孤立出單獨一項。同樣的邏輯表明常數項是 c_0 = f(a)。在複分析中,係數有一個平行的積分公式(柯西公式),它有時能在求導不便時仍把係數恢復出來。