冪級數與解析函數
逐項運算
冪級數的一大便利在於:在其收斂半徑內部,你幾乎可以把它當作長多項式來處理:要對整個級數求導或積分,只需對每一項求導或積分,再把結果相加。這個無窮和的表現就如同有限和——但僅限於它收斂的圓盤之內。
定理:若 f(x) = sum_{n=0}^無窮 c_n (x - a)^n 的收斂半徑 R > 0,則 f 在 (a - R, a + R) 上可微,且其導數可逐項求得:f'(x) = sum_{n=1}^無窮 n c_n (x - a)^{n-1}。求導後的級數具有相同的半徑 R。同理,逐項積分給出在同一開區間上有效的原函數。反覆施行可知 f 在該處無限可微。
其理據在於:冪級數在嚴格位於其半徑之內的每個閉子區間上一致收斂,而一致收斂恰恰是允許交換極限與求導/積分的條件。關鍵限制是:這只在半徑之內被允許。在邊界上,或對一般的(非冪)級數,逐項求導可能嚴重失效——此時必須檢驗求導後級數的一致收斂性。
對 1/(1-x) = sum x^n 逐項求導得 sum_{n>=1} n x^{n-1} = 1/(1-x)^2,在 |x| < 1 上有效——半徑相同。對 sum (-1)^n x^n = 1/(1+x) 逐項積分得 log(1+x) = sum (-1)^n x^{n+1}/(n+1)。
對冪級數逐項求導與積分。
另見