逐項微分

對級數逐項微分——(sum f_n)' = sum f_n'——看似逐項積分的天然兄弟，卻危險得多。微分會放大擺動，所以 f_n 本身一致收斂並不夠。必須把收斂要求加在導數上，這是一個嚴格更強的條件。

定理：設每個 f_n 在區間 [a, b] 上可微，導數 f_n' 在 [a, b] 上一致收斂，且僅在某一點 x_0 處 f_n(x_0) 收斂。則 f_n 在 [a, b] 上一致收斂到一個可微函數 f，且對每個 x 有 f'(x) = lim f_n'(x)。級數形式：若 sum f_n' 一致收斂且級數在某一點收斂，則 sum f_n 收斂到一個可微的和，其導數為 sum f_n'。

假設之所以一邊倒，是因為：積分使函數變光滑，微分使函數變粗糙。一個經典警示例子是 f_n(x) = sin(nx)/sqrt(n)：它們一致收斂到 0（sup = 1/sqrt(n) -> 0），然而 f_n'(x) = sqrt(n) cos(nx) 根本不收斂。所以即便函數本身一致收斂，也不能告訴你其導數的極限——你必須直接對導數加以控制。