逐項積分

把無窮和逐塊積分再相加，是個誘人的做法：integral of (sum f_n) = sum of (integral of f_n)。這恰好是交換求和（部分和的極限）與積分（也是一種極限）的次序。這種交換是合法的——但需要某個假設，而一致收斂是允許它的一個乾淨假設。

定理（序列形式）：若 f_n 在 [a, b] 上黎曼可積，且 f_n 在 [a, b] 上一致收斂到 f，則 f 黎曼可積，且 f_n 在 [a,b] 上的積分收斂到 f 的積分。級數形式：若 sum f_n 的部分和在 [a, b] 上一致收斂，且每個 f_n 可積，則 sum f_n 在 [a,b] 上的積分等於各 f_n 在 [a,b] 上積分之和。

為何一致收斂足夠：|integral of f_n - integral of f| <= integral of |f_n - f| <= (b - a) 乘以 sup 關於 [a,b] 的 |f_n - f|，而右端隨 n -> infinity 消失。誠實的提醒：這個假設不能隨便丟掉。僅在逐點收斂下，積分可能不收斂到極限的積分——一個著名的失敗，在更強大的勒貝格理論中由控制收斂定理與單調收斂定理修復。