一致收斂保持積分

下面這條精確陳述，讓你能把極限符號滑進黎曼積分內部：若函數在一個有界閉區間上一致收斂，則它們積分的極限等於它們極限的積分。f_n 下方的面積穩步走向 f 下方的面積，因為一致收斂不讓任何面積在某個孤立點處漏掉。

定理：設 f_n 在 [a, b] 上黎曼可積，並設 f_n 在 [a, b] 上一致收斂到 f。則 f 在 [a, b] 上黎曼可積，且 lim_{n->infinity} f_n 在 [a,b] 上的積分 = f 在 [a,b] 上的積分 = (lim_n f_n) 在 [a,b] 上的積分。其背後的估計很短：|integral of f_n - integral of f| <= integral over [a,b] of |f_n - f| <= (b - a) sup 關於 [a,b] 的 |f_n - f| -> 0。

兩個注意點值得直說。其一，一致性是充分而非必要的——許多積分可過極限的序列並不一致收斂，而勒貝格收斂定理（控制、單調）能處理遠多的情形。其二，區間必須有限：在無界區間上因子 (b - a) 是無窮，僅憑一致收斂並不能迫使積分收斂，因為質量可以逃逸到無窮遠。