控制收斂定理

每當你想交換極限與積分時,這就是你要訴諸的定理。危險在於質量逃向無窮(回想法圖的嚴格不等式)。良方是:把整個序列困在一把固定的可積大傘之下。若單個可積函數在絕對值上控制住所有這些函數,質量便無從洩漏,極限便能乾淨地穿入積分號。

陳述:設可測函數 f_n 幾乎處處逐點收斂到 f,並設存在可積的 g 使得對所有 n 有 |f_n| 小於等於 g。則 f 可積,且 f 的積分等於 f_n 積分的極限。此外 |f_n - f| 的積分趨於 0,即在 L^1 中收斂,這比積分收斂還要更強。

控制函數 g 是關鍵;沒有它結論會失效,正如高尖峰與移動凸包的例子所示。一個常見的精細化:被一列在 L^1 中收斂的 g_n 控制也足夠(廣義控制收斂定理)。本定理正是積分號下求導、交換求和與積分通常合法的原因——找到一個 g,就大功告成。