單調收斂定理

若你往浴缸裡不斷加水而從不放水,最終水位不過是上升水位的極限——毫無意外。單調收斂定理對積分說的是同樣的話:若非負函數只升不降地趨於某極限,則極限的積分等於積分的極限。遞增且非負是代價;作為交換,極限可徑直穿過積分號。

確切地說:設 f_1 小於等於 f_2 小於等於 ... 為可測函數,每個 f_n 大於等於 0,並(幾乎處處)逐點收斂到 f。則 f 的積分等於 n 趨於無窮時 f_n 積分的極限。兩邊都可能為正無窮,而定理依然成立;不假設控制函數,也不假設有限性。

關於假設有兩個真切的告誡。沒有非負性它會失效;沒有單調遞增它會戲劇性地失效——移動凸包的例子,f_n 取 [n, n+1] 的指示函數,每個積分都等於 1,卻逐點收斂到 0,而 0 的積分為 0。本定理是法圖引理及積分定義本身背後的主力。