幾乎處處收斂

在勒貝格理論中,只要壞點構成的集合測度為零,少數壞點便無關緊要。幾乎處處收斂放寬了普通的逐點收斂,寬恕在這樣一個可忽略集合上的失敗:序列在除去一個甚至無法賦予任何正測度的集合之外的每一點都收斂。由於積分對零測集視而不見,這正是餵給積分的自然收斂概念。

確切地說,函數列 f_n 幾乎處處(a.e.)收斂到 f,若存在集合 N 滿足 μ(N) = 0,使得對 N 之外的每個 x 都有 f_n(x) 收斂到 f(x)。單調收斂定理、法圖引理與控制收斂定理中的假設都以幾乎處處收斂陳述,正因為積分會忽略 N 上發生的事。

要當心幾乎處處收斂能給與不能給什麼。它並不蘊含 L^1 中的收斂(高尖峰幾乎處處收斂到 0,而其積分保持為 1),一般地在任意空間上也不蘊含依測度收斂,且極限 f 只在相差一個零測集的意義下確定。反過來,依測度收斂並不蘊含幾乎處處收斂,儘管它能迫使存在一個確實幾乎處處收斂的子列。