依測度收斂

依測度收斂提出的問題比逐點收斂更寬鬆。它不要求 f_n(x) 在每點最終落在 f(x) 附近，而只要求 f_n 明顯遠離 f 的那塊區域不斷縮小——就測度所見的大小而言。每一階段都可有少數點表現不佳，甚至這些不佳的點還能四處游移，只要「壞」區域的總測度趨於零即可。

形式上，在測度空間上，稱 f_n 依測度收斂到 f，若對每個 epsilon > 0，集合 { x : |f_n(x) - f(x)| >= epsilon } 的測度當 n 趨於無窮時趨於 0。這弱於幾乎處處收斂，卻抓住了積分所關心的逼近之實質。它正是馬爾可夫型估計所能控制的那種收斂方式。

它與其他收斂方式的關係值得記牢。L^p 收斂（對有限 p）依切比雪夫不等式蘊含依測度收斂。依測度收斂並不蘊含幾乎處處收斂——但它總有一個幾乎處處收斂的子序列（里斯定理）。經典的例證是「打字機序列」：[0, 1] 上不斷縮小、依次推進的區間的示性函數；它依測度收斂到 0，卻在任何單點都不收斂，因為那移動的隆起會無限多次重訪每一點。