可測函數

可測函數是與測量機制相容的函數：每當你問「哪些輸入使輸出落在這塊區域裡？」，答案總是一個你被允許測量的集合。換言之，該函數絕不會把一個好的目標集拉回成一團不可測的亂麻。正是這種相容性，恰是積分這個函數所需的條件。

形式地說，設 (X, A) 與 (Y, B) 為可測空間。函數 f 從 X 到 Y 稱為可測，若 B 中每個集合的原像都落在 A 中：對一切 B 屬於 B，f 的逆像 f-inverse(B) 屬於 A。對實值函數，取 B 為博雷爾西格瑪代數，一個便捷的等價檢驗是：{x : f(x) 大於 a} 對每個實數 a 都可測。R 上的連續函數自動是博雷爾可測的。

可測性遠比連續性弱——劇烈不連續的函數仍可能可測——但它在分析運算下穩健：可測函數的和、積、上確界、下確界、上極限、下極限以及逐點極限仍是可測的。這種對逐點極限的封閉性（連續性恰恰嚴重欠缺），正是可測函數成為積分與極限定理之恰當類別的原因。