特徵函數

集合的特徵函數是對「是否屬於」這一關係最簡單的描述：它對「你在集合裡嗎？」以 1 答「是」、以 0 答「否」。它把一個集合變成一個函數——一個恰在集合之上開啟、在其餘各處關閉的開關。它是用以構建簡單函數、並經由簡單函數構建勒貝格積分的原子。

形式地說，對空間 X 的子集 E，特徵函數 1_E（也寫作 chi_E）定義為：若 x 屬於 E 則 1_E(x) = 1，若 x 不屬於 E 則 1_E(x) = 0。函數 1_E 可測當且僅當 E 是可測集；此時它是簡單函數的基本例子。它在 X 上的勒貝格積分等於 mu(E)：對示性函數積分恰好還原該集合的測度。

特徵函數把集合運算翻譯為算術，這正是它如此便利的原因：交的示性函數等於諸示性函數之積，補的示性函數等於 1 減去示性函數，而對互不相交的集合，聯集的示性函數等於和。一點術語上的提醒：在機率論及某些領域，「特徵函數」一詞指分布的傅立葉變換——一個完全不同的對象。在測度論中，它始終指示性函數。