勒貝格積分

想像清點一堆硬幣的錢數。黎曼的方法是沿桌面從左到右走,把遇到的逐片相加,這是沿著輸入分片。勒貝格的方法則先按面值把硬幣分類——所有一分的放一起,所有一角的放一起——再用面值乘以數量相加。勒貝格積分切分的是函數的值域(輸出值),而非定義域,並用函數取該值之集合的測度來加權每個值。

具體而言,對測度空間上的非負可測函數 f,先用簡單函數(可測集指示函數的有限組合)從下方逼近 f,把這些簡單函數按值乘測度精確地積分,再取上確界。對一般的實值或複值 f,則拆成正部與負部(或實部與虛部)分別處理再合併,前提是各部分的積分有限。結果記作 f 關於 μ 在全空間或某可測集上的積分。

由於它度量的是集合,而不依賴區間的幾何,勒貝格積分能處理極不連續的函數,在溫和假設下可與極限交換,並適用於抽象空間。它是 L^p 空間、機率論以及大部分現代分析的基礎。誠實的提醒:它並不會神奇地讓每個函數都可積——只條件收斂的反常黎曼積分,如 (sin x)/x 在正實軸上的積分,並非勒貝格可積,因為其絕對值的積分為無窮。