勒貝格測度

勒貝格測度是對直線上長度、平面上面積、空間中體積的嚴格而通用的推廣。在初等概念有意義之處它與之一致——[a, b] 的測度即 b 減 a——但它把這些概念延拓到一大批沒有明顯長度的複雜集合上，並且當你把集合平移時其值始終不變。

在實直線上，勒貝格測度 m 是定義在勒貝格西格瑪代數上的唯一測度，它把每個區間映為其通常長度，且具平移不變性：對每個可測集 E 與每個實數 x，有 m(E + x) = m(E)。它由勒貝格外測度限制到滿足卡拉西奧多里準則的集合上而構成。在 R^n 中同樣的構造給出 n 維體積，依舊平移不變，且在長方體上與初等體積一致。

勒貝格測度是繪製勒貝格積分的畫布，也是使「幾乎處處」一語精確化的依據。兩點須坦言：它並非在 R 的每個子集上都有定義（存在不可測集）；而且在 R 的一切子集上都沒有任何平移不變測度能把區間映為長度 b 減 a——維塔利構造表明此事不可能，這恰是為何必須引入西格瑪代數。