不可測集

不可測集是直線上一種表現極壞的子集，壞到無法對它指派任何一致的長度。任何想給它一個既尊重平移不變性又尊重可加性的勒貝格測度的嘗試，都會導致矛盾。這類集合說明了為何不能簡單地測量 R 的每個子集，以及為何西格瑪代數無可迴避。

確切地說，不可測集是 R 的一個子集，它不屬於勒貝格西格瑪代數：勒貝格測度在其上無定義。這類集合的存在是一條定理，但其構造本質上依賴選擇公理；沒有任何不可測集能由顯式公式或構造性步驟給出。經典的見證是維塔利集。

更深的教訓是一條否定性結果：不存在定義在 R 一切子集上、把每個區間映為其長度的平移不變測度。維塔利的論證使平移不變性與可數可加性相互衝突而生矛盾。須坦言的集合論附註是：在不含選擇公理的數學模型中（索洛維模型），「R 的每個子集都勒貝格可測」是協調的，故不可測性是選擇公理的後果，而非鐵定的事實。