維塔利集

維塔利集是無法被測量之集的最初、最經典的例子。它由一次決定性地使用選擇公理而構造：把 [0, 1] 中的點按「僅相差一個有理數」歸入各家族，再從每個家族中恰好選一個代表。所得之集如此不規則，以致給它指派任何長度都將陷入矛盾。

其精確構造如下。規定兩個實數等價，若其差為有理數；這是一個等價關係，把 [0, 1] 劃分為不可數多個等價類。由選擇公理，從每類中各取一個代表，構成集合 V。再考慮可數多個平移 V + q，其中 q 為 [-1, 1] 中的有理數；這些平移兩兩不相交，其聯集包含 [0, 1] 而又落在 [-1, 2] 之內。

若 V 可測且測度為 m(V)，則由平移不變性，每個平移都有相同測度 m(V)，而可數可加性給出總測度等於可數多個 m(V) 之和。該和在 m(V) = 0 時為 0，在 m(V) 為正時為 +無窮——但它又必須介於 1 與 3 之間，即 [0, 1] 與 [-1, 2] 的測度。兩種情形皆不可能，故 V 不可測。此論證是平移不變性與可數可加性之間一場乾淨俐落的衝突。