等價關係

等價關係是一種把集合中某些元素宣布為「就當前目的而言相同」的方式，其行為如同真正的相等。它是滿足三條公理的關係 ~：自反性（每個 x ~ x）、對稱性（若 x ~ y 則 y ~ x）以及遞移性（若 x ~ y 且 y ~ z 則 x ~ z）。日常的相同——同一天生日、同一個國家——恰好服從這三條規則。

其收益在於劃分。集合 A 上的一個等價關係把 A 切成互不相交、非空的等價類，其中 x 的類是所有與 x 等價的元素之集。每個元素恰落在一個類中，而兩元素等價若且唯若它們同屬一個類。劃分與等價關係是同一結構的兩個視角——給定其一，便可重建另一個。

這是透過「黏合」構造新對象的標準機制。有理數是整數對的等價類，當 ad = bc 時 (a, b) ~ (c, d)；實數可構造為有理柯西序列的等價類（兩序列等價當其差趨於 0）；模 n 的剩餘類是整數的等價類。每當你「在某種等同意義下」定義某物時，背後總有一個等價關係在悄然運作。