函數（映射）

從集合 A（定義域）到集合 B（陪域）的函數 f，記作 f : A → B，是一條規則，它給 A 的每個元素 x 指派 B 中恰好一個元素 f(x)。把它想成一台機器：從定義域餵入任意 x，便輸出唯一確定的一個值。兩條定義性要求是：完全性（每個輸入都有輸出）與單值性（沒有輸入得到兩個不同的輸出）。

一個微妙卻重要的要點是：函數不僅僅是一個公式——它是公式連同它的定義域與陪域。同一規則 x ↦ x^2 在 R 上與在 [0, ∞) 上給出確實不同的函數，因為改變定義域就改變了哪些輸入存在，改變陪域就改變了函數能否為滿射。值域（或像）是實際取到的值之集，{f(x) : x ∈ A}，它可以是陪域的真子集。

函數是分析的中心對象：極限、連續、微分與積分都是函數的性質。形式上可把函數定義為一類特殊的有序對之集——一種關係，其中每個定義域元素恰作為第一座標出現一次——這就把直觀的「機器」圖景奠基於純集合論。並非每條規則都定義一個函數：x ↦ ±√x 不是單值的，故不是函數（除非選定一支）。