可數可加性

可數可加性是測度的定義性承諾：若把一個集合拆成可數多個互不重疊的片，則各片的大小恰好相加為整體的大小——而且這對一列無窮多片成立，不止對有限多片。正是這條性質讓測度論得以與極限相交換。

形式地說，定義在西格瑪代數上的集函數 mu 稱為可數可加（或西格瑪可加），若對每一列兩兩不相交的可測集 A_1, A_2, A_3, ...，有 mu(諸 A_n 之聯集) = sum 關於 n 的 mu(A_n)。該和可為有限數或 +無窮；無論哪種，等式都須嚴格成立。有限可加性是其中除有限多個 A_n 外其餘皆為空集的特例。

從有限可加到可數可加這一步，正是初等幾何與分析之間的全部差別。它確實是更強的條件：存在有限可加但非可數可加的集函數，它們無法支撐一套良好的積分理論。對一個有限可加測度而言，可數可加性等價於自下連續性——即 mu(一列遞增集之聯集) 等於諸 mu 值之極限——而正是這種連續性被各大收斂定理所利用。