收斂級數

收斂級數是指其無盡的累加確實落到了某處：當你納入越來越多的項時，累加的總和趨向一個確定的有限數，而不是漂向無窮或永遠振盪。這個數稱為該級數的和。

確切地說，當級數 sum a_n 的部分和序列 s_N = a_1 + ... + a_N 滿足 lim s_N = S 且 S 有限時，稱該級數收斂到 S。按序列極限的 epsilon 定義，這意味著：對每個 epsilon > 0，存在 N_0，使得對一切 N >= N_0 有 |s_N - S| < epsilon。等價地，按柯西準則，級數收斂當且僅當其尾段一致地變小——對每個 epsilon > 0，存在 N_0，使得當 n > m >= N_0 時 |a_{m+1} + ... + a_n| < epsilon。

收斂級數遵循一套乾淨的代數：若 sum a_n = A 與 sum b_n = B 收斂，則 sum (a_n + b_n) = A + B 且 sum (c a_n) = cA。但要當心——sum a_n 收斂迫使 a_n -> 0，然而其逆命題不成立；調和級數的各項趨於零卻仍發散。收斂是關於部分和的論斷，而不僅僅關乎單個項的大小。