無窮級數

設想你要把無窮多個數一個接一個地加起來，並追問這個累加的總和最終是否會穩定到某一個值。這個不斷累積的總和正是無窮級數的核心。你並不是一口氣把無窮多項加完，而是觀察前一項的和、前兩項的和、前三項的和，依此類推，並追問它們究竟趨向何處。

嚴格地說，給定一個實數（或複數）序列 a_1, a_2, a_3, ...，無窮級數記作 sum a_n。它的含義完全由部分和序列 s_N = a_1 + a_2 + ... + a_N 來定義。若序列 s_N 在通常極限意義下收斂到 S，則稱該級數收斂到 S；否則稱該級數發散。因此級數本身並不是一個數——它是一個符號，可能命名其部分和的極限，也可能根本不命名任何數。

有一點值得明說：符號 sum a_n 同時承載兩層含義。它既表示這個形式物件（即生成部分和的法則），又在收斂時表示所得的極限值。許多對有限和而言自動成立的操作——重排各項、對各項分組、兩個級數相乘——若沒有額外假設，對無窮級數可能失效或改變結果。