發散級數

發散級數是指其無盡的累加始終不落到任何有限值上。累加的總和可能奔向正無窮、墜向負無窮，或永遠來回擺動而絕不趨近——在每種情形裡，都沒有任何單一的數使部分和趨向它。

嚴格地說，sum a_n 發散，當且僅當其部分和序列 (s_N) 不具有有限極限。這把傘涵蓋了幾種迥異的行為：發散到 +無窮（1 + 1 + 1 + ... 的部分和）、發散到 -無窮，以及根本沒有極限的振盪發散（1 - 1 + 1 - 1 + ... 的部分和在 1 與 0 之間交替）。它們都被稱為發散，儘管圖景大相逕庭。

有時一個發散級數仍可經由某種求和法（切薩羅法、阿貝爾法等）被賦予一個值，這類方法對部分和作平均或平滑；在切薩羅求和下，1 - 1 + 1 - 1 + ... 被賦值為 1/2。這類賦值並不與通常意義下的發散相矛盾——它們是刻意削弱了的求和概念，自有其用處，但與部分和的極限並非一回事。