發散到無窮

有些數列不收斂，不是因為搖擺，而是因為衝出圖表頂端——它們增長超過你願意指出的任何數且一去不返。這種特殊而井然有序的發散稱為發散到無窮，儘管該數列沒有有限極限，其行為卻如此規整，以致我們寫 a_n -> +無窮。

確切來說，a_n -> +無窮 意味著對每個實數 M 都存在索引 N，使得對一切 n > N 有 a_n > M。換言之：無論你把橫桿 M 設得多高，數列最終都越過它並停留在其上方。對稱地，若對每個 M 都存在 N 使得對一切 n > N 有 a_n < M，則 a_n -> -無窮。這仿照了 epsilon-N 定義，以「超過 M」代替「在 epsilon 之內」。

一個微妙卻重要的要點：發散到 +無窮 的數列是發散的，而非收斂的——符號 +無窮 是增長模式的簡寫，並非有限極限，寫 a_n -> +無窮 並不意味著數列收斂。在擴充實數系中可把 +無窮 當作真正的極限點，但在標準實分析中「收斂」一詞專留給有限極限。因此發散到無窮是發散的一種有結構的特例，與混亂的振盪判然有別。