有界數列

有界數列是其各項絕不越出一個固定圍欄的數列。無論你讀到數列多深處，每一項都待在某個下限與某個上限之間。它不必安頓下來——只是不許逃向正無窮或負無窮。

正式來說，若存在實數 M > 0 使得對一切 n 有 |a_n| <= M，則稱 (a_n) 有界。等價地，所有項都落在區間 [-M, M] 內。這可拆為有上界（存在上界：對一切 n，a_n <= U）與有下界（存在下界：對一切 n，a_n >= L）；數列有界當且僅當它既有上界又有下界。

有界性是關於數列的兩個最深刻結果的守門人。每個收斂數列都自動有界，這使有界性成為收斂的一項快捷必要檢查。而由波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理，每個有界實數列——哪怕劇烈振盪——都至少有一個收斂子數列。但要當心：僅憑有界並不給出收斂，正如 (-1)^n 所示。