波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

這條定理是關於擁擠的一個承諾。若你撒下無窮多個點卻把它們全都困在數線的一段有限範圍內，它們就沒有空間永遠散開；總得在某處擠作一團。從任何這樣的有界數列中，你總能抽出一個聚向單一點的子數列。

確切來說：每個有界實數數列都至少有一個收斂子數列。那個子數列的極限必定是原數列無窮多次任意逼近地反覆造訪的點——一個聚點。數列本身不必收斂；定理只承諾其中藏著一個性狀良好的子數列。

波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理是分析學的基石，其強度等價於實數的完備性，並且支撐著全學科中的緊緻性論證——極值定理、閉有界集的序列緊緻性以及海涅-博雷爾定理的證明都依賴於它。一個標準證明反覆把區間二等分，每次保留含無窮多項的那一半，造出一族其公共點即為子數列極限的嵌套區間。