聚點

集合的聚點是該集合簇擁環繞的一個點:無論你放大得多麼緊,總能在附近找到該集合的其他成員擠作一團。它是一個你可以用集合中的點悄悄逼近的位置,能任意靠近,卻始終無須真正落在其上。

確切地說,p 是集合 S 的聚點,是指 p 的每個鄰域都至少包含一個不同於 p 自身的 S 中的點——等價地說,每個區間 (p - r, p + r) 都與 S 相交於某個異於 p 的點。一個等價的序列表述:存在 S 中一列全異於 p 的點 x_n,使得 x_n -> p。點 p 可能屬於 S,也可能不屬於。

聚點恰好是對函數取極限有意義的地方:lim_{x->a} f(x) 只在 a 是定義域的聚點時才有定義,這樣才真的有任意靠近 a 的輸入可供趨近。它們與孤立點正相反——集合中的一個點要麼在其中孤立,要麼是它的聚點,絕不會兩者兼是。